ベン図って、丸が重なっている図ですよね。試験ではどう使うんですか？
そう、その図だよ。「両方」「どちらか」「どちらでもない」を整理するのにとても便利なんだ。アンケートの人数計算や、データベースの検索条件の問題で出てくるよ。
集合とは「はっきり区別できるものの集まり」
集合 とは、「ラーメンが好きな人」「偶数」のように、入っているかどうかがはっきり決まるものの集まり です。集合に入っている1つひとつを 要素 といいます。
考える対象すべて（たとえばアンケートに答えた全員）を 全体集合 といい、記号 U で表します。集合どうしの関係を、四角（全体集合）と丸（各集合）で描いた図が ベン図 です。
アンケートの例：クラス40人に「ラーメンは好き？」「カレーは好き？」と聞いた
- 全体集合 U：クラスの40人
- 集合A：ラーメンが好きな人
- 集合B：カレーが好きな人
4つの基本操作
| 名前 | 記号の例 | 意味 | アンケートでは |
|---|---|---|---|
| 和集合 | A ∪ B | AまたはBに入っている | 少なくとも一方が好き |
| 積集合 | A ∩ B | AにもBにも入っている | 両方とも好き |
| 補集合 | Aの補集合（A に上線） | Aに入っていない | ラーメンが好きではない |
| 差集合 | A − B | Aに入っていてBに入っていない | ラーメンだけ好き |
∪ はコップの形で「全部すくう」→ 和集合（または）。∩ はその逆さまで「重なりだけ」→ 積集合（かつ）。論理演算の OR が ∪、AND が ∩ に対応します。
人数を数える：重なりを1回引く
「少なくとも一方が好きな人」を数えるとき、AとBの人数をそのまま足すと、両方好きな人を2回数えてしまいます。そこで重なりを1回引きます。
A ∪ B の人数 ＝ Aの人数 ＋ Bの人数 − A ∩ B の人数
どちらでもない人数 ＝ 全体 − A ∪ B の人数
クラス40人。ラーメン好き25人、カレー好き20人、両方好き8人
- 少なくとも一方が好き：25 ＋ 20 − 8 ＝ 37人
- どちらも好きではない：40 − 37 ＝ 3人
- ラーメンだけ好き：25 − 8 ＝ 17人
- カレーだけ好き：20 − 8 ＝ 12人
検算：17 ＋ 8 ＋ 12 ＋ 3 ＝ 40人 ✔
「どちらか一方だけ」と「少なくとも一方」は別物。一方だけは 17 ＋ 12 ＝ 29人、少なくとも一方は37人。重なりを含むかどうかに注意しよう。
塗りつぶし部分を式で表す
試験では「ベン図の網かけ部分を表す式はどれか」という問題がよく出ます。コツは、塗られている場所を「〜に入っていて、〜に入っていない」と日本語にしてから 記号に直すことです。
- 「Aに入っていて、Bに入っていない」→ A ∩ (Bの補集合)
- 「AにもBにも入っていない」→ (Aの補集合) ∩ (Bの補集合)
- 「AかBのどちらか一方だけ」→ (A ∪ B) − (A ∩ B)（論理演算のXORと同じ形）
「(A ∪ B) の補集合」と「(A ∩ B) の補集合」がいつもごっちゃになります…。
ベン図に塗って確かめるのが一番だよ。前者は丸の外側だけ、後者は重なり以外の全部。かっこを外すと ∪ と ∩ が入れかわる、というド・モルガンの法則で覚えておくと速いね。
ド・モルガンの法則
- (A ∪ B) の補集合 ＝ (Aの補集合) ∩ (Bの補集合)
- (A ∩ B) の補集合 ＝ (Aの補集合) ∪ (Bの補集合)
試験に出るポイント
- 和集合 ∪＝または（OR）、積集合 ∩＝かつ（AND）、補集合＝ではない（NOT）
- 人数計算は A ＋ B − 重なり。重なりを2回数えないこと
- 「どちらでもない」は 全体 − 和集合
- 網かけ部分の式は、日本語にしてから記号に直す
- 「一方だけ」と「少なくとも一方」を読み分ける