確率と統計って数学っぽくて苦手なんです…。試験にも出るんですか？
出るよ。でもITパスポートで問われるのは、さいころの確率や、テストの点数の平均・ばらつきくらいのやさしい計算が中心。公式の意味がわかれば怖くないよ。
場合の数：順列と組合せ
確率を求めるには、まず「全部で何通りあるか」を数える必要があります。これを 場合の数 といいます。
- AかつBが続けて起こる（「〜して、さらに〜する」）→ かけ算（積の法則）
- AかBのどちらか一方が起こる（同時には起こらない）→ 足し算（和の法則）
人や物を選ぶときは、順番を区別するかどうか で数え方が変わります。
| 順列（P） | 組合せ（C） | |
|---|---|---|
| 意味 | 選んで並べる（順番を区別する） | 選ぶだけ（順番を区別しない） |
| 例 | 5人からリレーの1走・2走を決める | 5人から掃除当番を2人選ぶ |
| 計算 | 5 × 4 ＝ 20通り | （5 × 4）÷（2 × 1）＝ 10通り |
組合せは「順列を、選んだ人どうしの並び方で割る」。2人なら並び方は 2 × 1 ＝ 2通り、3人なら 3 × 2 × 1 ＝ 6通りで割ります。
例：5人から3人選ぶ組合せ ＝（5 × 4 × 3）÷（3 × 2 × 1）＝ 60 ÷ 6 ＝ 10通り
確率：「当たり」÷「全部」
確率 は、起こりうる場合がどれも同じくらい起こりやすいとき、次の式で求めます。
確率 ＝ その事柄が起こる場合の数 ÷ 起こりうるすべての場合の数
2個のさいころの目の合計を表にすると、全部で 6 × 6 ＝ 36 マスになります。
「続けて起こる」確率はかけ算
コインを2回投げて2回とも表になる確率は、1/2 × 1/2 ＝ 1/4 です。1回目の結果が2回目に影響しない（独立している）ときは、確率をかけ算できます。
「少なくとも1回」は逆から考える
コインを3回投げて、少なくとも1回 表が出る確率
- 逆（1回も表が出ない＝3回とも裏）の確率：1/2 × 1/2 × 1/2 ＝ 1/8
- 全体の1から引く：1 − 1/8 ＝ 7/8
「少なくとも〜」と聞かれたら、「1回も起こらない」確率を1から引く と速く解けます。
期待値：平均するといくらになるか
期待値 は、「何度もくり返したとき、1回あたり平均でどれくらいになるか」を表す値です。
期待値 ＝（値 × その値になる確率）の合計
10本中1本が500円の当たり、残りがはずれのくじ → 期待値 ＝ 500円 × 1/10 ＋ 0円 × 9/10 ＝ 50円。このくじが1本100円で売られていたら、平均すると損をする計算です。
代表値：平均値・中央値・最頻値
たくさんのデータの特徴を1つの数で表したものを 代表値 といいます。
| 代表値 | 求め方 | 5人の点数 40, 60, 60, 70, 95 では |
|---|---|---|
| 平均値 | 合計 ÷ 個数 | 325 ÷ 5 ＝ 65点 |
| 中央値（メジアン） | 小さい順に並べたときの真ん中 | 60点 |
| 最頻値（モード） | いちばん多く出てくる値 | 60点 |
データが偶数個のときの中央値は、真ん中の2つの平均 をとります。たとえば 2, 4, 6, 8 なら（4 ＋ 6）÷ 2 ＝ 5 です。
平均値は、極端に大きい（小さい）値に引っぱられやすい。年収のように一部に大きな値があるデータでは、中央値のほうが「ふつうの人」の感覚に近いことがある。
分散と標準偏差：ばらつきを数字にする
平均が同じでも、データの 散らばり具合（ばらつき） はグループによって違います。
ばらつきを数字で表すのが 分散 と 標準偏差 です。
- 平均を求める
- 各データから平均を引く（偏差）
- 偏差を2乗して、すべて足す
- データの個数で割る → 分散
- 分散の平方根（√）をとる → 標準偏差
B組 1, 3, 5, 7, 9 の分散と標準偏差
- 平均：25 ÷ 5 ＝ 5
- 偏差：−4、−2、0、2、4
- 2乗して合計：16 ＋ 4 ＋ 0 ＋ 4 ＋ 16 ＝ 40
- 分散：40 ÷ 5 ＝ 8
- 標準偏差：√8 ≒ 2.83
A組 4, 5, 5, 5, 6 は、偏差の2乗が 1、0、0、0、1 で合計2 → 分散 2 ÷ 5 ＝ 0.4
どうして偏差をそのまま足さずに、わざわざ2乗するんですか？
偏差をそのまま足すと、プラスとマイナスが打ち消し合っていつも0になっちゃうんだ。B組でも −4−2＋0＋2＋4＝0 でしょ。2乗すればみんなプラスになるから、離れ具合をちゃんと合計できるんだよ。
標準偏差は、2乗した分散を √ で元の単位（点数なら「点」）に戻したものです。分散・標準偏差が大きいほど、ばらつきが大きい と読みます。
正規分布
身長やテストの点数のように、平均のまわりに多く集まり、左右対称の山の形 になる分布を 正規分布 といいます。正規分布では、平均 ± 標準偏差1つ分の範囲に、全体の約68% のデータが入ります。
試験に出るポイント
- 順番を区別する→順列、区別しない→組合せ（順列を並び方の数で割る）
- 確率 ＝ 起こる場合の数 ÷ 全部の場合の数。「少なくとも」は 1 − 起こらない確率
- 期待値 ＝（値 × 確率）の合計
- 平均値・中央値・最頻値の違い。偶数個の中央値は真ん中2つの平均
- 分散 ＝ 偏差の2乗の平均、標準偏差 ＝ √分散。大きいほどばらつきが大きい